CG笔记之一——透视投影

以前以为投影也就投影了，并不了解投影也可视作坐标变换，而且也是一个齐次坐标（Homogeneous Coordinate）系的坐标变换。因此书中的介绍一开始也不明白——它说透视投影会把直线映射成曲线，还特地验证一下，发现投影为2D空间（摄像机平面）并不会发生这种情况，在仔细一看才知道，它指的是映射到3D空间，在z方向发生了畸变。而后逐渐了解，原来z方向的位置信息（depth）在渲染级模块处（所谓的Z-Buffer）有特殊用处（直线上每个点的depth均通过直线两端的点线性插值完成，因此可能造成depth位序异常）。当然这个问题在某些场合是不会发生的，例如完全基于光线跟踪算法的渲染并不是这样形成depth的。

于是，投影事实上成了投影变换。投影变换需要满足两个基本要求^[1]：
　　1．保持depth的位序；
　　2．将直线变换为直线。
　　在x和y方向仍根据投影方法定义（投射在摄像机平面上的坐标），而在z方向上，需要引入伪距离映射（pseudo-distance），数学上，透视投影的伪距离映射具有形式z' = A + B / z。假设z方向截断分别为n和f = 1 / rf，截断分别映射为pn和pf。于是列写方程式¹：
　　pn = A + B / n   （式1）
　　pf = A + B * rf　（式2）
　　解得：
　　A = (n * rf - pf) / (n * rf - 1) （式3）
　　B = n * (pf - pn) / (n * rf - 1) （式4）
　　可以证明，相应的齐次坐标变换矩阵为：
　　[ d, 0, 0, 0;
　　  0, d, 0, 0;
　　  0, 0, A, B;
　　  0, 0, 1, 0]    （式5）
　　一个很赏心悦目的方案是将n=d（目屏距）映射为0，而将rf=0（无穷远处）映射为1，这种情况下：A=1, B=-d。然而事实上，为了能够提供较好的depth分辨效果，n和f的选择（尤其是f）非常重要，f必须能容纳所有需要关心的物体，需要足够大，但是过大的话会导致depth分辨率的相对降低；而pn和pf则主要取决于为depth分配的位数，通常，现代显卡为depth配置了32位定点数。而透视投影的伪距离映射的一个较好的性质是，它对较近的物体提供了较大的分辨率，较远的物体则即使由于分辨率低而发生错误也是可以接受的。
　　然而在OpenGL中，用一个锥形顶点在圆点，截平面与z = 0平面平行的平截头体(frustum)向任意矩形映射的方式定义透视投影。它是一种更一般的透视投影形式。
　　列写关系式：
　　px = kx * x / z + dx    （式6）
　　py = ky * y / z + dy    （式7）
　　pz = kz / z + dz　　　（式8）
　　可以导出齐次线性变换矩阵为：
　　P = [ kx,  0, dx, 0;
　　       0, ky, dy, 0;
　　       0,  0, dz, kz;
　　       0,  0,  1, 0]    （式9）
　　注意到：
    M = [ 1, 0, 0, dx;
          0, 1, 0, dy;
          0, 0, 1, dz;
          0, 0, 0, 1]
    A = [ kx, 0,  0, 0;
           0, ky, 0, 0;
           0, 0,  0, kz;
           0, 0,  1, 0]
　　有P = M * A    （式10）
　　即P变换矩阵由投影（A矩阵）和屏幕平移（M矩阵）两部分变换组成。
　　根据映射关系：
　　(x0, ?, z0) -> (px0, ?, pz0), (x1, ?, z0) -> (px1, ?, pz0)    （式11）
　　(?, y0, z0) -> (?, py0, pz0), (?, y1, z0) -> (?, py1, pz0)    （式12）
　　(?, ?, z0) -> (?, ?, pz0), (?, ?, z1) -> (?, ?, pz1)    （式13）
　　可以解得：
　　kx = z0 * (px1 - px0) / (x1 - x0), dx = (x1 * px0 - x0 * px1) / (x1 - x0)    （式14）
　　ky = z0 * (py1 - py0) / (y1 - y0), dy = (y1 * py0 - y0 * py1) / (y1 - y0)    （式15）
　　kz = z0 * (pz0 - pz1) / (1 - z0 / z1 ), dz = (pz1 - pz0 * z0 / z1) / (1 - z0 / z1)    （式16）
　　注意到，kz是小于0的，这使得式8给出的伪距离映射是合法的。

注释
1 本笔记采用传统的z轴，即从眼睛指向屏幕，x从左至右，y从上至下（符合光栅扫描顺序），因此它仍是右手系的。

参考文献
[1] 3-D Computer Graphics, A Mathematical Introduction with OpenGL, Samuel R. Buss