高等数学期末总复习DAY8. 简单有理分式积分以及分部积分

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DAY8.

默默成为一个很强的人

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    • DAY8.
      • 简单有理分式积分
      • 2.分部积分

简单有理分式积分

有理分式是形如 P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}的分式

其解法大概分三种:

  1. 分式形式为:Ax+a\frac{A}{x+a}

我们可以做如下变换:

Ax+adx=Ax+adx+a=Aln(x+a)+c\int \frac{A}{x+a} d_x = \int\frac{A}{x+a}d_{x+a} = A\ln(x+a)+c

  1. 分式形式为:B(x+a)n\frac{B}{(x+a)^n}

我们可以做如下变换:

B(x+a)ndx=B(x+a)ndx+a=B11n(x+a)1n+c\int \frac{B}{(x+a)^n} d_x = \int\frac{B}{(x+a)^n}d_{x+a} = B\frac{1}{1-n}(x+a)^{1-n}+c

  1. 分式形式为:
    在这里插入图片描述

例题

1(x+1)(x2)dx\int \frac{1}{(x+1)(x-2)} d_x

先在草稿纸上打一下草稿:

1(x+1)(x2)=Ax+1+Bx2=A(x2)+B(x+1)(x+1)(x2)\frac{1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2)+B(x+1)}{(x+1)(x-2)}

=(A+B)x2A+B(x2)(x+1)= \frac{(A+B)x - 2A +B}{(x-2)(x+1)}

与原式对比可知:A=13B=13A = -\frac{1}{3} B=\frac{1}{3}

解:原式

=13(1x21x+1)dx= \frac{1}{3} \int(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1})d_x

=13lnx2x+1+c= \frac{1}{3} \ln \frac{x-2}{x+1} +c

在这里插入图片描述

2.分部积分

公式:uvdx=udv=uvvdu=uvvudx\int uv' d_x = \int u d_v = uv - \int v d_u = uv - \int vu' d_x

口诀:反对幂指三 (越靠后就越应该放在dxd_x里面)

例题

xsinxdx\int x\sin x d_x

解:原式

=xdcosx= -\int x d_{\cos x}

=(xcosxcosxdx)= -( x \cos x - \int \cos x d_x)

=(xcosxsinxc)= -( x \cos x - \sin x - c)

=sinxxcosx+c= \sin x -x \cos x +c

例题2

lnxdx\int \ln x d_x

解:原式

=xlnxxdlnx= x \ln x - \int x d_{\ln x}

=xlnxx1xdx= x \ln x - \int x \frac{1}{x} d_x

=xlnxx+c= x \ln x - x +c

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