李宏毅机器学习——误差从哪来

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Error的来源

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Average ErrorAverage Error 随着模型复杂增加呈指数上升趋势。更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果,而这些 ErrorError 的主要有两个来源,分别是 bias 和 variance

然而 bias 和 variance是什么:
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Error由bias和variance组成。Error反映的是整个模型的准确度,Bias反映的是模型在样本上的输出与真实值之间的误差,即模型本身的精准度,Variance反映的是模型每一次输出结果与模型输出期望之间的误差,即模型的稳定性

我们训练一个模型的最终目的,是为了让这个模型在测试数据上拟合效果好,也就是Error(test)比较小,但在实际问题中,test data我们是拿不到的,也根本不知道test data的内在规律,所以我们通过什么策略来减小Error(test)呢?

分两步:

  1. 让Error(train)尽可能小
  2. 让Error(train)尽可能等于Error(test)

三段论,因为A小,而且A=B,这样B就小。

那么怎么让Error(train)尽可能小呢? 》》》把模型复杂化,把参数搞得多多的,这个好理解,十元线性回归,肯定error要比二元线性回归低啊》》》low bias

然后怎么让Error(train)尽可能等于Error(test)呢?》》》把模型简单化,把参数搞得少少的。什么叫Error(train)=Error(test)?就是模型没有偏见,对train test一视同仁。那么怎样的模型更容易有这这种一视同仁的特性,换句话说,更有『通用性』,对局部数据不敏感?那就是简单的模型》》》low variance

估测变量x的偏差和方差

评估x的偏差

假设 x 的平均值是 μ,方差为 σ2,评估平均值要怎么做呢?

首先拿到 N 个样本点:{x1,x2,⋅⋅⋅,xN}
计算平均值 m, 得到
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但是如果计算很多组的 m ,然后求 m的期望:
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这个估计是无偏估计(unbiased)。

然后 m分布对于 μ的离散程度(方差):
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这个取决于 N,下图看出 N越小越离散:
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估测变量x的方差

如何估算方差呢?
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为什么会有很多的模型?

用同一个model,在不同的训练集中找到的 f* 就是不一样的
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这就像在靶心上射击,进行了很多组(一组多次)。现在需要知道它的散布是怎样的,将100个宇宙中的model画出来
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考虑不同模型的方差

幂为一次的模型的方差就比较小,也就是比较集中,离散程度较小。而5次模型的方差就比较大,同理散布比较广,离散程度较大。

所以用比较简单的模型,方差是比较小的(就像射击的时候每次的时候,每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内)。如果用了复杂的模型,方差就很大,散布比较开。

这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。

考虑不同模型的偏差

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这里没办法知道真正的 fˆ ,所以假设图中的那条黑色曲线为真正的 fˆ
结果可视化,一次平均的 f¯ 没有5次的好,虽然5次的整体结果离散程度很高。

一次模型的偏差比较大,而复杂的5次模型,偏差就比较小。

直观的解释:简单的模型函数集的space比较小,所以可能space里面就没有包含靶心,肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大,可能就包含的靶心,只是没有办法找到确切的靶心在哪,但足够多的,就可能得到真正的 f¯

偏差v.s.方差

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将误差拆分为偏差和方差。简单模型(左边)是偏差比较大造成的误差,这种情况叫做欠拟合,而复杂模型(右边)是方差过大造成的误差,这种情况叫做过拟合。

怎么判断?

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如果模型没有很好的训练训练集,就是偏差过大,也就是欠拟合 如果模型很好的训练训练集,即再训练集上得到很小的错误,但在测试集上得到大的错误,这意味着模型可能是方差比较大,就是过拟合。 对于欠拟合和过拟合,是用不同的方式来处理的

偏差大-欠拟合

此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含f*可以:

将更多的函数加进去,比如考虑高度重量,或者HP值等等。 或者考虑更多次幂、更复杂的模型。 如果此时强行再收集更多的data去训练,这是没有什么帮助的,因为设计的函数集本身就不好,再找更多的训练集也不会更好。

方差大-过拟合

简单粗暴的方法:更多的数据
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但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候,偏转角度的数据集不够,那就将正常的数据集左转15度,右转15度,类似这样的处理。

交叉验证


图中public的测试集是已有的,private是没有的,不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分,一部分作为训练集,一部分作为验证集。用训练集训练模型,然后再验证集上比较,确实出最好的模型之后(比如模型3),再用全部的训练集训练模型3,然后再用public的测试集进行测试,此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数,调整模型,让在public的测试集上更好,但不太推荐这样。
上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办,可以用下面的方法。

N-折交叉验证

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比如在三份中训练结果Average错误是模型1最好,再用全部训练集训练模型1。

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