小谈概率论(一)

  • 时间:
  • 来源:互联网
  • 文章标签:

小谈概率论(一)

一、引言

​ 最近开始学习随机过程,其实不算是严谨的随机过程,实际上是学习随机信号处理,觉得随机事件还是挺能描述自然世界的,是个不错的工具。我专业也不是搞通信的,可能需要学习的不是很深。作为随机过程的基础-概率论和数字信号处理感觉基础打的也不是很扎实。因此想梳理一下个人对概率论的粗略理解,在心中有么个概率论的体系,方便个人理解以及应用。

​ 首先谈到概率论,我们得先知道为什么有这么个东西存在,他的应用领域是什么?接下来那既然是概率论,概率又是什么?是谁的概率?我们怎么来描述这个概率或者怎么得到这个概率呢?为了回答这几个问题,接下来分为几点来展开:

  • 概率空间
  • 概率(古典概率、条件概率 - 全概率公式和贝叶斯公式&独立事件)
  • 随机变量的数字特征
  • 随机变量的分布函数(随机变量的分布函数 & 随机变量的函数分布 & 随机变量的特征函数)
  • 极限定理

二、概率空间

​ 世界上发生的很多事件它是确定的,我们称之为确定性现象,比如太阳从东方升起;但也有很多现象,在它发生前都是不确定的,我们并不知道它发生的结果,比如明天是否会下雨?骰子会掷到几?而概率论的存在就是为了描述这类不确定的现象而生的。为什么要描述这类不确定现象呢?在我的理解范围内,是因为人类想要理解一些原先认为不可控未知的现象,掌握其发展的规律,以此能够对其进行预测、进行控制。因此,为了理解某一项未知现象,我们可以假想把这项现象放在一个黑盒子里,然后慢慢来研究这个黑盒子,也就是慢慢来研究掌握这个未知现象。这个黑盒子也就是我们常说的概率空间。

​ 概率空间由三要素构成——S、F、P。我们来就具体的例子解释一下S、F、P分别是什么。首先我们想要了解明天天空中会出现什么?这是我们对黑盒子也就是概率空间提出的问题,然后我们就从黑盒子中抽纸条,看看上面写的答案是什么,我们称抽纸条这个过程为试验。黑盒子里所有纸条上出现的文字比如云、比如太阳就是S——样本空间(试验中所有的可能结果)。试验中所有出现的结果,我们称之为随机事件,随机事件出现的所有结果就组成了样本空间。在这里我们可以注意到随机事件有三个特性:

  • 试验可在相同条件下重复进行
  • 我们可以事先知道所有可能发生的随机事件结果
  • 但我们不知道具体哪个随机事件会发生。

​ 但有时候纸条上的答案可能比较invalid and amazing,比如它上面写了明天天空中会出现软妹币。你会感慨:噢!这真是件不错的事情!但实际上我们很清楚天空中并不会出现软妹币,那是不是黑盒子里是不是全装着这些无厘头全是废话的纸条呢呢?

​ 并不是,纸条上可能还写着明天天空会有大太阳,记得打阳伞。如果你没有不相信它的话,那可能你第二天可惨了,会被晒得黑了好几度。也有可能纸条上写着,亲爱的,明天早上天气很好,天上是大太阳,但是这张纸条又不小心和另一张写着下午天上有很厚的黑云可能会下暴雨黏在一起了!结果你到了第二天发现,诶,这两张“不小心”黏在一起的纸条又说对了!这样看,黑盒子真是不错。而针对于明天天空可能会是大太阳、可能会有星星、可能会有厚厚的黑云以至于要下雨这些纸条上都可能给出的答案,这些答案是在我们的认知可接受范围内的,我们也认为它们的确可能出现。这就是F——随机事件的集合。F可能是单个元素(比如纸条告诉你明天会有大太阳);也有可能是多个元素,黏在一起的两张纸条(早上大太阳,下午下雨)。F也有三个特性:

  • 集合必须包含不可能事件;
  • 如果事件E{1}、E{2}、E{3}、E{4}∈F,则E{1,2,3,4}∈F;
  • 如果事件E∈F,则E的补集∈F。

​ 到此你是不是疑惑了,诶不对,为什么要分开定义S和F呢,它们不都是可能发生的结果吗?在我看来单独提取F来定义它实际上有两个作用:1)使得样本空间可描述。这是为什么呢?为什么样本空间还要F才能描述呢?回忆一下刚才提到的软妹币的例子,实际上这样无厘头的例子还有很多,如果我们一一列举,那有可能一辈子都在干这件事情了。而F使得我们只用抽取其中几个比如我就抽取了软妹币,也就使得了我们对随机事件的描述是可数可描述的;2)可以充分利用所有可能出现的随机事件。F定义为集合,也就是他可以包含一个随机事件,也有可能包含两个随机事件。如我们举的早上太阳下午下雨的例子,集合的描述使得我们对概率空间的描述更贴合实际了。

​ 最后我们再介绍一下概率空间的第三个要素P——就是围绕着F展开的,也就是F发生的概率。P同样的也有三个特性:

  • 0 ≤ P(E))≤ 1;
  • P(Ω) = 1;
  • P(E{1} + E{2} + E{3} + ……) = ∑P(E{n})。

本章参考:

[https://www.zhihu.com/question/20642770/answer/67964978]:

第二部分争取下周更!!

本文链接http://www.taodudu.cc/news/show-1782116.html