概率论考点之多维随机变量及密度函数
如题：2019年10月
分析：概率论是最初要考的一个科目，看了好几遍了吧，总还是没印象。可见别人讲得再天花乱坠，自己不懂，一点用都没有，白白浪费时间。知识，要靠自己去掌握。 还是借此顺下知识点：
答案：详见第5个问题
第一个问题：
何为多维随机变量呢？可以认为是随机变量的叠加。与连续型随机变量一样，其分布函数也是一个平面，只不过个平面是由多条概率密度曲线所围成的。
第二个问题：如何理解二维随机变量分布函数？分布函数对应的就是一个求概率的问题
为什么x>(-∞),y<(+∞)呢？？？脑补出坐标系就知道了，这表示的就是坐标系的范围。
单独取X或Y的分布函数称为关于X或Y的边缘分布函数。脑补出坐标系就明白了，相当于在x轴或y轴某个点上画线，一条线指定是没有面积的，如何表达面积呢？那就用极限。并且是用趋于正无穷,为什么呢？因为分布函数定义是不大于某个点的概率，-∞表示的比任何数都小的数（这里不能当作一般数来理解，可以当作变量或函数代表趋势），极限是0。+∞表比任何数都大，极限就是无穷。所以负无穷（趋于0）时概率为0，所以只能是趋于正无穷。
关于矩形区域概率计算理解：
根据分布函数的定义，画个图就知道了，如下：多减了一次F(x1,y1)，得加上。
第三个问题：离散型二维随机变量如何理解？
简单来说就是不同坐轴上的两个点，点都是大于0的，这两个点合起来，又对应另一个坐标系的概率值。用两个坐标系可以实现降维。如下图：
关于二维离散型随机变量的边缘分布律（其分量X、Y各自的分布律）：记住下面的表就可以了，Pi.j里的点理解了就可以了，点就代表i或j的所有值域（结果相加）。P.j=1或Pi.=1
第四个问题：二维连续型随机变量之理解？真正的两条曲线围成的面积。这是结论，至于如何理解？还得从二重积分的定义来说起。详见《高等数学复习之二重积分》
二元函数f(x,y),对应的就是二重积分里面的曲顶函数（或者说是曲顶的边界）。但这里不能当作几何里的概念，就当作一个连续的函数来看，曲定积分的定理可知，连续一定是可积的，也就是说曲顶在坐标系中的面积一定是可以表示的，所以是有别于二重积分的，边界x,y与f(u,v)用的是不同的字母。这里在解题时也要注意一下。
5、二维连续型随机变量的均匀分布本质？？？？？这是曾在《概率论考点之指数分布，泊松分布及积分》关于一维连续型均匀分布时提出的问题。
类似的可以得出就是平行于参考面一个面D,所以概率密度f(x,y)是面积S倒数。书中给出的两种特殊情形：
尤其是第一条：当区域是一个矩形时，可以有两个非常重要的结论：x ~ U[a,b],Y ~ U[c,d],分别得出x服从a,b上的均匀分布，Y服从c , d上的均匀分布,并且x,y 相互独立。这个的推导，可以从1、一维连续型概率密度分布本质来推 2、也可以从解定积分的角度来推，其实也很好理解
本题的答案就是考察均匀分布（1）特殊情形：
由题意可知，后面表示区间，x [0,1/2],y [0,1/2],表示的是一个正方形，题目没有明确说概率密度是均匀分布，但只有均匀分布符合题意，其他分布都不符合。根据均匀分布的定义，所以面积的倒数，面积是1/2 x 1/2 =1/4,所以答案是4。
6、二维连续型随机变量正态分布？？了解一下，不是考试重点
了解下的符号及其含义：（X，Y）~ N（μ1，μ2，σ1²，σ2²，ρ）
x的数学期望是u1
y的数学期望是u2
x的方差是σ1²
y的方差是σ2²
ρ是相关系数，反映出xy的相关关系
了解下它的图形：
7、关于边缘概率密度？？？
仔细看了下前面的一维随机变量的内容，还真没有提到过“边缘”之说，最早的是二维离散型随机变量中提到边缘分布律？？何为边缘呢？为什么一维中没有边缘之说呢？
根据边缘分布律定义很明显可以得到是分别关于x,y单独的分布律，而一维中只有一个变量，所以用概率密度就可以表示出概率变化趋势，所以没有边缘之说。边缘是针对的多维随机变量而说的，因为具有多个变量，单独研究每个自变量的趋势，就是研究的边缘概率分布规律。
与一维一样，分布律是针对离散的，概率密度才是连续型。所以边缘概率密度的定义如下：
f(x,y)；关于x,y的联合密度，在计算时还要掌握边缘密度计算，对y进行积分，那么就把y看作是常数，写成y=f(x)的形式,同时也表示对x轴投影，这与求二重积分是完全一致的。为什么？？
脑补一个由两条曲线和两条直线围成的一个面，关于X的边缘密度，可以理解为求x的趋势（也就是x上关于面的上下边界的形状），其实就是确定对x轴投影，穿过的两条上下边界，上下边界的值，其实就针对y的，所以是对y求积分。
同理，对Y求边缘密度，其实是对y上关于面的左右边界的趋势，所以得对y轴投影，左右的趋势值，应该是用x轴上的值来表示，所以是对x求积分。
重要结论：
