当前位置：首页 > news >正文

矩阵分析与应用-06-概率密度函数01

news 2023/9/19 14:47:18

概率密度函数

实随机向量的概率密度函数

一个含有m 个随机变量的实值向量

$x(\xi)=[x_1(\xi),x_2(\xi),...,x_m(\xi)]^T$

称为mx1实随机向量，或简称随机向量(当维数无关紧要时)。其中， $\xi$ 表示样本点，可以是时间，频率，或者位置等。

一个随机向量由它的联合累积分布函数或联合概率密度函数完全描述。一组概率的集合函数

$F(x) = P\left \{ \xi:x_1< x_1(\xi)\leq x_1,...,x_m< x_m(\xi)\leq x_m \right \}$

定义为向量x( $\xi$ )的联合累积分布函数，简称分布函数。式中， $x_i$ 为实数。

随机向量x( $\xi$ )的（联合)概率密度函数定义为

$f(x)=\lim_{\Delta x_1\rightarrow 0,...,\Delta x_m\rightarrow 0}\frac{P\left \{ \xi:x_1< x_1(\xi)\leq x_1+\Delta x_1,...,x_m< x_m(\xi)\leq x_m+\Delta x_m \right \}}{\Delta x_1,...,\Delta x_m} = \frac{\vartheta ^m}{\vartheta x_1...\vartheta x_m}F_x(x_1,...,x_m)$

联合概率密度函数的m-1重积分函数

$F(x_i)=\int_{-\infty }^{\infty} ...\int_{-\infty }^{\infty}f_\infty(x_1,...,x_m)dx_1...dx_m$

称为随机变量 $x_i$ 的边缘概率密度函数。

就是说，随机向量x( $\xi$ )的联合分布函数等于其联合概率密度函数的积分。

随机变量 $x_1(\xi),x_2(\xi,..,x_m(\xi))$ 称为(联合)独立，若对于m个事件 $\left \{ x_1(\xi \leq x_1) \right \},...,\left \{ x_m(\xi \leq x_m) \right \}$ ，有以下概率关系成立：

$P\left \{ x_1(\xi)\leq x_1,...,x_m(\xi)\leq x_m \right \} = P\left \{ x_1(\xi)\leq x_1 \right \} ...P\left \{ x_m(\xi)\leq x_m \right \}$ 。

复随机向量的概率密度函数

一个复随机变量定义为 $x(\xi)=x_R(\xi)+jx_1(\xi)$ ，其中， $x_R(\xi)$ 和 $x_I(\xi)$ 分别为实值随机变量。

复随机向量可以表示成

$x(\xi) = x_R(\xi) + jx_1(\xi)=\begin{bmatrix} x_{R1}(\xi)\\ x_{R2}\xi)\\ ...\\ x_{Rm}(\xi) \end{bmatrix} + j\begin{bmatrix} x_{I1}(\xi)\\ x_{I2}\xi)\\ ...\\ x_{Im}(\xi) \end{bmatrix}$

复随机向量的累计分布函数定义为

$F(x)=P\left \{x(\xi) \leq x \right \}=P\left \{ x_R(\xi) \leq x_R,x_I(\xi) \leq x_R \right \}$

概率密度函数

$f(x) = \frac{\vartheta ^{2m}F(x)}{\vartheta x_{R1}\vartheta x_{I1}...\vartheta x_{Rm}\vartheta x_{Im}}$

累积分布函数是概率密度函数关于所有实部和虚部的2m重积分，即

$F(x)=F_x(x_1,..,x_m)=\int_{-\infty}^{x_{R1}}\int_{-\infty}^{x_{I1}}...\int_{-\infty}^{x_{Rm}}\int_{-\infty}^{x_{Im}}f(v_1,...,v_m)dv_{R1}dv_{I1}...dv_{Rm}dv_{Im}$